راهنمایی کوتاه: در این مسئله، مستطیلی داریم که نیمسازهای زوایای داخلی آن یک چهارضلعی در وسط ایجاد میکنند. مساحت این چهارضلعی با مساحت مستطیل برابر است. باید نسبت طول به عرض مستطیل را پیدا کنیم.
گامبهگام:
- ۱) فرض میکنیم طول مستطیل = a و عرض آن = b باشد. مساحت مستطیل = a × b.
- ۲) نیمسازهای زوایای داخلی مستطیل در مرکز آن یکدیگر را قطع میکنند و یک چهارضلعی (لوزی) در وسط تشکیل میدهند.
- ۳) با رسم شکل و استفاده از هندسه تحلیلی یا مثلثات میتوان نشان داد که مساحت این چهارضلعی (لوزی) برابر است با: (a² + b²) / 2.
- ۴) طبق صورت مسئله، مساحت چهارضلعی با مساحت مستطیل برابر است، بنابراین: (a² + b²) / 2 = a × b.
- ۵) معادله را ساده میکنیم: a² + b² = 2ab → a² - 2ab + b² = 0 → (a - b)² = 0.
- ۶) از این معادله نتیجه میگیریم: a = b. یعنی طول و عرض مستطیل با هم برابرند.
پاسخ نهایی: نسبت طول به عرض مستطیل برابر با ۱ است (یعنی a/b = 1). به عبارت دیگر، مستطیل در واقع یک مربع است.
مثال مشابه: اگر مستطیلی با ابعاد ۵ و ۵ داشته باشیم (یعنی یک مربع)، مساحت آن ۲۵ است. نیمسازهای زوایای آن در مرکز مربع یک نقطه هستند (چهارضلعی به یک نقطه تبدیل میشود) که مساحت آن صفر است. اما در این مسئله خاص، با توجه به رابطهای که به دست آمد، تنها زمانی که a = b باشد، تساوی مساحتها برقرار است.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: میتوانی مسئله را برای مستطیلهای مختلف با ابعاد متفاوت بررسی کنی و ببینی که آیا نسبت مساحت چهارضلعی میانی به مساحت مستطیل همیشه ثابت است یا خیر. همچنین میتوانی شکل مسئله را با دقت رسم کنی و با استفاده از قضیههای هندسی، رابطه مساحتها را استخراج کنی.
