هندسه فصل سوم

دهم هندسه 1

اگر به راس های یک (n)چند ضلعی محدب یک راس اضافه کنیم به تعداد و قطرهای آن ۲۰ تا اضافه میشود.nرا بیابید.

Zeinab Eslami

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: تعداد قطرهای یک چندضلعی محدب با n راس برابر است با $\frac{n (n - 3)}{2}$ . با اضافه کردن یک راس، تعداد قطرها به اندازه $n - 1$ افزایش می‌یابد.

گام‌به‌گام:

فرمول تعداد قطرهای یک چندضلعی محدب با n راس را به‌یاد بیاور: $D_{n} = \frac{n (n - 3)}{2}$ .
اگر یک راس اضافه کنیم، تعداد راس‌ها n+1 می‌شود. تعداد قطرهای جدید برابر است با: $D_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 1 - 3)}{2} = \frac{(n + 1) (n - 2)}{2}$ .
افزایش تعداد قطرها برابر است با تفاضل این دو مقدار: $D_{n + 1} - D_{n} = \frac{(n + 1) (n - 2)}{2} - \frac{n (n - 3)}{2}$ .
ساده‌سازی می‌کنیم: $= \frac{(n^{2} - 2 n + n - 2) - (n^{2} - 3 n)}{2} = \frac{2 n - 2}{2} = n - 1$ .
می‌دانیم این افزایش ۲۰ است، پس $n - 1 = 20$ و در نتیجه $n = 21$ .

پاسخ نهایی: $n = ۲۱$

مثال مشابه: اگر در یک چندضلعی محدب تعداد قطرها ۵۴ باشد، چند راس دارد؟ (راهنمایی: از همان فرمول استفاده کنید و معادله $\frac{n (n - 3)}{2} = 54$ را حل کنید که جواب می‌شود $n = 12$ .)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: به رابطه‌ای که بین راس‌ها و قطرها هست فکر کن. چرا این فرمول به دست می‌آید؟ می‌توانی با رسم چندضلعی‌های کوچک (مثل ۴ و ۵ و ۶ ضلعی) و شمردن قطرها، فرمول را خودت کشف کنی.