اثبات همرسی عمود منصف‌ها

راهنمایی کوتاه: عمود منصف‌های اضلاع هر مثلث در یک نقطه به نام مرکز دایره محیطی همرسند.

گام‌به‌گام:

1. تعریف: عمود منصف یک پاره‌خط، خطی است که از وسط آن می‌گذرد و بر آن عمود است. هر نقطه روی این خط از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارد.
2. دو عمود منصف از دو ضلع مثلث را در نظر بگیرید (مثلاً عمود منصف ضلع AB و عمود منصف ضلع BC). این دو خط همدیگر را در نقطه‌ای مانند O قطع می‌کنند (چون موازی نیستند).
3. از آنجا که O روی عمود منصف AB قرار دارد، داریم: OA = OB.
4. همچنین O روی عمود منصف BC است، پس: OB = OC.
5. از دو رابطهٔ بالا نتیجه می‌شود: OA = OC. بنابراین O از دو سر ضلع AC فاصلهٔ برابر دارد، یعنی O روی عمود منصف ضلع AC نیز قرار می‌گیرد.
6. پس هر سه عمود منصف از یک نقطه (O) عبور می‌کنند. این نقطه همان مرکز دایره‌ای است که از سه رأس مثلث می‌گذرد (دایرهٔ محیطی).

پاسخ نهایی: عمود منصف‌های اضلاع هر مثلث همرسند و نقطهٔ همرسی آنها مرکز دایرهٔ محیطی مثلث است.

مثال مشابه: فرض کنید مثلثی با رأس‌های A(0,0)، B(4,0) و C(0,3) داریم. عمود منصف AB خط x=2، عمود منصف BC خط y=1.5، و عمود منصف AC خط y=-(4/3)x+2.5 است. هر سه خط در نقطهٔ (2, 1.5) یکدیگر را قطع می‌کنند که مرکز دایرهٔ محیطی مثلث است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی دربارهٔ مرکز دایرهٔ محیطی، مرکز دایرهٔ محاطی و سایر نقاط همرس در مثلث مثل مرکز ثقل تحقیق کنی.